幂函数习题

前言

一般地，形如\(f(x)=x^{\alpha}\)(\(\alpha\in R\))的函数称为幂函数，其中\(x\)为自变量，\(\alpha\)为常数，既然是形式定义，那么当题目告诉我们，函数\(h(x)=(m^2-2m+2)x^m\)为幂函数，则\(m^2-2m+2=1\)，解得\(m=1\)，即所给的幂函数为\(y=x\)。

幂函数性质

图像绘制

• 教材上只要求掌握五种幂函数，其实我们应该利用他们总结出如下的图像的代表：

当\(\alpha<0\)时，恒过点\((1，1)\)，在\((0，+\infty)\)上单调递减，凹函数；

当\(\alpha=0\)时，恒过点\((1，1)\)，在\((0，+\infty)\)上无单调性，无凹凸性；

当\(0<\alpha<1\)，恒过点\((0，0)\)，\((1，1)\)，在\((0，+\infty)\)上单调递增，凸函数；

当\(\alpha=1\)时，恒过点\((0，0)\)，\((1，1)\)，在\((0，+\infty)\)上单调递增，无凹凸性；

当\(\alpha>1\)时，恒过点\((0，0)\)，\((1，1)\)，在\((0，+\infty)\)上单调递增，凹函数；

• 比如函数\(y=x^{\frac{2}{3}}\)，先画出\([0，+\infty)\)上的函数图像，再根据偶函数，画出\((-\infty，0]\)上的图像。
• 比如函数\(y=x^{\frac{1}{3}}\)，先画出\([0，+\infty)\)上的函数图像，再根据奇函数，画出\((-\infty，0]\)上的图像。
• 比如函数\(y=x^{-\frac{1}{2}}\)，先画出\((0，+\infty)\)上的函数图像，无奇偶性，故只有第一象限的图像。

特别提示

• 请注意以下说法的实质内容；

• 幂函数\(y=x^{\alpha}\)图像不经过原点，则\(\alpha\leq 0\)；
• 幂函数\(y=x^{\alpha}\)与\(x\)轴、\(y\)轴没有交点，则\(\alpha\leq 0\)；
• 幂函数\(y=x^{\alpha}\)图像关于原点对称，则函数为奇函数；
  幂函数中的奇函数比如，\(y=x\)，\(y=x^{-1}\)，\(y=x^3\)，\(y=x^{\frac{1}{3}}\)等等；
• 幂函数\(y=x^{\alpha}\)图像关于\(y\)轴对称，则函数为偶函数；

幂函数中的偶函数比如，\(y=x^0\)，\(y=x^{-2}\)，\(y=x^2\)，\(y=x^{\frac{2}{3}}\)等等；

延申阅读

• 幂函数\(f(x)=x^a\)，其抽象函数为\(f(x)\cdot f(y)=f(x\cdot y)\)；\(\cfrac{f(x)}{f(y)}\)\(=f(\cfrac{x}{y})\)；

典例剖析

已知幂函数\(f(x)=x^{m^2-2m-3}(m\in N^*)\)的图像关于\(y\)轴对称，且在\((0，+\infty)\)上是减函数，则\(m\)的值是多少？

分析：由于幂函数\(f(x)\)在\((0，+\infty)\)上是减函数，则\(m^2-2m-3<0\)，

解得\(-1<m<3\)，又\(m\in N^*\)，所以\(m=1\)或\(m=2\)。

又由于图像关于\(y\)轴对称，所以\(m^2-2m-3<0\)为偶数，

当\(m=2\)时\(m^2-2m-3\)为奇数，舍去\(m=2\)，

故\(m=1\)。

【数形结合比较大小】 幂函数的图像经过点\((\cfrac{1}{2}，\cfrac{\sqrt{2}}{2})\)，若\(0<a<b<1\)，试比较\(f(a)、f(b)、f(1)、f(\cfrac{1}{a})、f(\cfrac{1}{b})\)的大小。

分析：设幂函数解析式为\(y=x^{\alpha}\)，由 幂函数的图像经过点\((\cfrac{1}{2}，\cfrac{\sqrt{2}}{2})\)，

则\((\cfrac{1}{2})^{\alpha}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)，即\(2^{-\alpha}=2^{-\frac{1}{2}}\)

故\(\alpha=\cfrac{1}{2}\)，故幂函数为\(y=x^{\frac{1}{2}}\)，求函数的解析式

则其在定义域\([0，+\infty)\)上单调递增。

又由于\(0<a<b<1\)，则可知\(\cfrac{1}{a}>\cfrac{1}{b}>1\)，

即\(0<a<b<1<\cfrac{1}{b}<\cfrac{1}{a}\)，

故有\(f(a)<f(b)<f(1)<f(\cfrac{1}{b})<f(\cfrac{1}{a})\)。

【数形结合比较大小】设\(a=(\cfrac{3}{5})^{\frac{2}{5}}\)，\(b=(\cfrac{2}{5})^{\frac{3}{5}}\)，\(c=(\cfrac{2}{5})^{\frac{2}{5}}\)，

试比较\(a、b、c\)的大小。

分析：比较\(a、c\)，利用幂函数\(y=x^{\frac{2}{5}}\)，在\((0，+\infty)\)上单调递增，故\(a>c\)；

比较\(b、c\)，利用指数函数\(y=(\cfrac{2}{5})^x\)，在\((-\infty，+\infty)\)上单调递减，故\(c>b\)；

故有\(a>c>b\)。

【题组训练、思维拓展】若\((2m+1)^{\frac{1}{2}}>(m^2+m-1)^{\frac{1}{2}}\)，求实数\(m\)的取值范围。

分析：由于上述不等式依托的函数是\(y=x^{\frac{1}{2}}\)，在定义域\([0，+\infty)\)上单调递增，

故有\(\left\{\begin{array}{l}{2m+1\ge 0①}\\{m^2+m-1\ge 0②}\\{2m+1>m^2+m-1③}\end{array}\right.\)

解得\(\left\{\begin{array}{l}{m\ge -\cfrac{1}{2}①}\\{m\ge\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}或m\leq \cfrac{-\sqrt{5}-1}{2}②}\\{-1<m<2③}\end{array}\right.\)

求交集得到，\(\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}\leq m<2\)。故\(m\in [\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}，2)\)。

【变式1】【无奇偶性】若\((2m+1)^{\frac{1}{4}}>(m^2+m-1)^{\frac{1}{4}}\)，求实数\(m\)的取值范围。

分析：求解过程同上，故\(m\in [\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}，2)\)。

【变式2】【无奇偶性】若\((2m+1)^{\frac{1}{2n}}>(m^2+m-1)^{\frac{1}{2n}}(n\in N^{*})\)，求实数\(m\)的取值范围。

分析：求解过程同上，故\(m\in [\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}，2)\)。

【变式3】【奇函数】若\((2m+1)^{\frac{1}{3}}>(m^2+m-1)^{\frac{1}{3}}\)，求实数\(m\)的取值范围。

分析：定义域为\((-\infty，+\infty)\)，故只需要利用单调性，故\(-1<m<2\)。

【变式4】【抽象函数】若函数\(f(x)\)的定义域为\([0，+\infty)\)，且满足对任意的\(x_1，x_2\in [0，+\infty)\)，都有\(\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0(x_1\neq x_2)\)，且满足\(f(2m+1)>f(m^2+m-1)\)，求实数\(m\)的取值范围。

分析：求解过程同上，故\(m\in [\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}，2)\)。

【数形结合比较大小】若\(f(x)=x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{2}}\)，则满足\(f(x)<0\)的\(x\)的取值范围是_________。

分析：借助两个幂函数的图像，求解不等式。\((0，1)\)。图像

【求解析式】已知函数\(f(x)=x^{2-m}\)是定义在区间\([-3-m，m^2-m]\)上的奇函数，求\(f(m)\)的值。

分析：由题目可知，定义域关于原点对称，则\((-3-m)+(m^2-m)=0\)，

解得\(m=-1\)或\(m=3\)，但接下来必须逐个检验，

原因：刚才借助的是奇偶函数共有的性质，定义域关于原点对称，不是奇函数特有的，

当\(m=-1\)时，函数\(f(x)=x^3\)，奇函数，满足题意；

当\(m=3\)时，函数\(f(x)=x^{-1}\)，奇函数，但是其定义域不包含\(0\)，不会是区间\([-3-m，m^2-m]\)，

即区间\([-6，6]\)，故不符合题意，舍去。

故函数\(f(x)=x^3\)，\(f(m)=f(-1)=(-1)^3=-1\)。

【2019武汉模拟】幂函数\(y=x^{\alpha}\)，当\(\alpha\)取不同的正数时，在区间\([0，1]\)上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点\(A(1，0)\)，\(B(0，1)\)，连接\(AB\)，线段\(AB\)恰好被其中的两个幂函数\(y＝x^a\)，\(y＝x^b\)的图象三等分，即有\(BM=MN=NA\)，那么\(a－\cfrac{1}{b}\)值是【 】

$A.0$ $B.1$ $C.\cfrac{1}{2}$ $D.2$

分析：由题目可知，\(M(\cfrac{1}{3},\cfrac{2}{3})\)，\(N(\cfrac{2}{3},\cfrac{1}{3})\)，将其分别代入函数\(y＝x^a\)，\(y＝x^b\)

得到\(\cfrac{2}{3}=(\cfrac{1}{3})^a\)，\(\cfrac{1}{3}=(\cfrac{2}{3})^b\)，

则\(a=log_{\frac{1}{3}}\frac{2}{3}\)，\(b=log_{\frac{2}{3}}\frac{1}{3}\)，显然有\(ab=1\)，则\(a=\cfrac{1}{b}\)

故\(a-\cfrac{1}{b}=0\)，故选\(A\)。

不等式 \((x-1)^{\frac{2}{3}}>(3x+1)^{\frac{2}{3}}\) 的解集为 【\(\qquad\)】

$A.(-1,0)$ $B.(-\cfrac{1}{3},1)$ $C.(0,1)$ $D.(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$

解析： 函数 \(y=f(x)=x^{\frac{2}{3}}\)，偶函数 ，故原不等式等价于 \(f(|x-1|)>f(|3x+1|)\)，

又函数 \(y=f(x)=x^{\frac{2}{3}}\)在 \([0,+\infty)\)上单调递增，故有 \(|x-1|>|3x+1|\)，

两边平方得到， \(|x-1|^2>|3x+1|^2\)，解得，\(x\in (-1,0)\)，故选 \(A\) .